このホワイトペーパーのパート1では、量子計算から磁場センシングまで、様々なアプリケーションで利用されている量子ビットと呼ばれる2レベル量子システムについて紹介します。量子ビットの物理的な実装例をいくつか紹介するとともに、一般的なXNUMXレベル量子システムの構造についても考察します。
In 第2部では、ブロッホ球として知られる量子ビット状態のグラフィカル表現を紹介します。また、このモデルを用いて、Rabi、Ramsey、CPMGといった一般的なパルスシーケンスをMokuなどの再構成可能なハードウェアに実装し、これらの量子ビットから重要な情報を抽出できることも示します。
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量子ビットとは何ですか?
量子ビット（キュービット）は、量子コンピューティング、通信、センシングの基本的な構成要素です。従来のビットと同様に、キュービットは、従来の0と1に対応する0つの異なる量子化状態をとることができる物理システムです。これらの量子状態は、この分野の多くの研究と同様に、∣1⟩と∣0⟩と表されます。トランジスタにおいて1と1が電流の有無を表すように、キュービットの状態は、電子スピンや原子エネルギーレベルといった物理的に測定可能なパラメータに対応します。次のセクションで説明するように、キュービットの量子的な性質により、これらのXNUMXつの状態の重ね合わせ状態も存在できます。実用的なキュービットの基本要件は[XNUMX]で示されています。
- 初期化。量子ビットを 0 状態に設定またはリセットできることを意味します。
- コヒーレント操作、つまりマイクロ波またはレーザーパルスを使用して量子ビットの状態を駆動すること。
- 読み出しでは、量子ビットの状態が調査され、エンド ユーザーに配信されます。
重ね合わせ状態にある場合でも、量子ビットは読み出し時に0か1しか返さないことに注意してください。つまり、状態の全体像を把握するには、特定の実験を何度も繰り返す必要があります。この点については、最終セクションでパルスシーケンスについて議論する際にさらに詳しく説明します。
競合する量子ビットシステムは数多く存在し、それぞれに長所と短所があります。特定の量子ビットアーキタイプの長所を議論することは本研究の範囲外ですが、物理的な実装と物理量の例としては以下が挙げられます。
超伝導トランスモン量子ビット基板上に超伝導ジョセフソン接合をパターン化することで形成される。これらのシステムでは、∣0⟩状態と∣1⟩状態は、接合を横切る超伝導電流、電荷、位相の相互作用によって定義される非線形振動子のXNUMXつの最低エネルギー準位に対応する。
中性原子は、レーザービームと磁場の組み合わせによって保持されます。量子ビットの状態は、慎重に選択された1つの原子エネルギー準位であり、通常は磁場中のゼーマン分裂、または原子核と価電子間の超微細相互作用によって定義されます。図XNUMXに例を示します。
固体量子ビットダイヤモンドの窒素空孔（NV）中心は、電子供与性の窒素原子を格子空孔近傍に導入することで形成される。直流磁場中に置くと、ゼーマン効果によって複数の電子スピン状態が分裂し、0つの準位が ∣1⟩ と ∣XNUMX⟩ として選択される。
次のセクションでは、量子ビットシステムの数学的な記述を紹介します。
2レベル量子システム
量子ビットの振る舞いを直感的に理解するために、いわゆる2準位量子系から始めます。前述のように、これは様々なもの、例えば電子のスピン、イオンの2つの超微細状態、あるいは超伝導回路の2つの最低エネルギー準位などです。物理的にはこれらの系は大きく異なりますが、いずれも同じ単純なモデルで記述できます。量子物理学で一般的に用いられるブラケット記法を用いて、2つのエネルギー準位を以下のように表記します。
|0⟩: 低エネルギー状態（基底状態）
|1⟩: 高エネルギー状態（励起状態）
重ね合わせ状態は|0⟩と|1⟩の線形結合として表され、|𝜓⟩はこの重ね合わせ状態を表します。XNUMXつの状態間の混合の度合いを定量化するために、振幅αとꞵも導入します。これらをまとめると、XNUMX準位系のあらゆる可能な状態は次のように表すことができます。
\(| \psi \rangle = \alpha | 0 \rangle + \beta | 1 \rangle \) (1)
振幅は正規化条件 \(| \alpha |^2 + | \beta |^2 = 1\) に従い、\(| \alpha |^2 \) と \(| \beta |^2 \) は量子ビットがその状態にある確率を表します。α = 1、β = 0 と設定すると、系は完全に古典的な 0 状態にあることを意味しますが、\(\alpha = \beta = 1/\sqrt{2}\) は50つの状態の 50/XNUMX の重ね合わせを表します。つまり、系がどちらの状態でも測定される可能性は等しくなります。
αとβは実数でも複素数でもよく、それらの相対位相は量子干渉と時間発展において重要な役割を果たすことに注意してください。この形は純粋状態と呼ばれる状態を表しますが、後述するように、環境との相互作用によって系は急速に混合状態になる可能性があります。
次のセクションでは、ハミルトニアンを紹介し、それがエネルギーレベル情報をどのようにエンコードするかを見ていきます。
システムハミルトニアン
2準位量子系では、これらの状態間のエネルギー差は通常、周波数ℏωで表されます。ここで、ℏは縮約プランク定数、ωはXNUMXつのエネルギー準位間の遷移で吸収または放出される電磁放射の周波数です。この系のダイナミクスは、式XNUMXに示す非常に単純なハミルトニアンによって支配されます。量子力学において、演算子（記号の上にキャレット^で表される）とは、量子状態に作用して、そのエネルギー、位置、スピンなどを変化させたり測定したりする数学的オブジェクトです。ハミルトニアンの場合、それは系の全エネルギーです。
\(\ワイドハット{H} = \frac{-1}{2} ℏ ω_0 \ワイドハット{σ}_z \) (2)
ここで、\(\widehat{σ}_z\) はパウリ行列の一つです。パウリ行列はもともと電子スピンを記述するために導入されましたが、現在ではあらゆる0準位量子系を記述するための汎用的な基底として用いられています。この場合、z は量子化軸、つまり1つのエネルギー準位 ∣1⟩ と ∣0⟩ が分割される軸を定義します。これは、状態 ∣XNUMX⟩ が状態 ∣XNUMX⟩ よりも高いエネルギーを持つという事実を符号化します。
2つの基底状態に対する \(\widehat{σ}_z\) の作用は次のとおりです。
\(\ワイドハット{σ}_z |0 \rangle = -|0\rangle, \widehat{σ}_z |1\rangle = | 1\rangle \)
これは2つの準位間のエネルギー差を反映しており、マイナス記号は2つの状態が量子化軸の反対側にあることを示しています。スピンベースのシステム（NMRや電子スピン量子ビットなど）では、量子化軸は通常、外部磁場によって設定され、エネルギー準位はその軸に沿って分裂します。原子量子ビットや超伝導量子ビットでは、量子化軸はシステム固有の他の要因によって定義されます。
それでは、システムが時間の経過とともにどのように進化するかを見てみましょう。
時間発展
量子系は動的ですが、これまではシステムの状態が特定の時点においてどのように定義されるかのみを検討してきました。状態ベクトル |𝜓⟩ を時間依存ベクトル |𝜓(t)⟩ に置き換え、量子系のハミルトニアンを与えられた場合の、時間経過に伴う量子系の発展を記述する有名なシュレーディンガー方程式を導入します。
\(i\hbar\frac{\partial}{\partial t} | \psi(t)\rangle=\widehat{H} | \psi(t)\rangle\) (3)
本質的には、ハミルトニアン演算子を適用すると、状態ベクトル|𝜓(t)⟩がどのように変化するかに関する情報が得られます。2レベルハミルトニアン（式XNUMX）を再度検討すると、 t はどこにも現れず、エネルギー準位は時間的に固定されていることを意味する。この場合、シュレーディンガー方程式は、状態が時刻 \(i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left|\Psi(t)\right>=\widehat{H}\left|\Psi(t)\right>\) から後の時刻にどのように発展するかを記述する単純な解を持つ。 t [2]：
\(| \psi(t) \rangle = e^{\frac{- i \widehat{H} t}{\hbar}} | \psi(0) \rangle\)
当社の特定のシステムの場合:
\(| \psi(t) \rangle = e^{\frac{- i \omega_0 t \widehat{\sigma}_z }{2}} | \psi(0) \rangle\)
ハミルトニアンは明確な時間依存性を持たないが、これら2つの状態が異なるエネルギーを持つため、系は時間とともに発展する。重要なのは、この発展は物理系の種類に関わらず起こるということである。エネルギー分裂が磁場、超微細構造、あるいは人工的な量子回路によるものかどうかは関係ない。これにより、我々の方程式はあらゆる2状態量子系に対して普遍的となる。
0つの異なる初期状態において、これがどのように作用するかを見てみましょう。まず、基底状態 ∣XNUMX⟩ から始めます。
\(| \psi(0) \rangle = | 0 \rangle\)
時間発展演算子を適用する:
\(| \psi(0) \rangle = e^{\frac{i \omega_0 t}{2}} | 0 \rangle\)
これは単に時間の経過に伴う全体的な位相変化であり、量子ビットを読み出すときには観測可能な影響はありません (各状態の係数の 0 乗の係数に等しい確率で、∣1⟩ または ∣XNUMX⟩ のみが観測されることを思い出してください)。
ここで、等しい重ね合わせから始める場合を調べます。
\(| \psi(0) \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( |0 \rangle + | 1 \rangle \right) \)
ここで、各コンポーネントに時間発展演算子を適用します。
\(| \psi(t) \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{\frac{- i \omega_0 t \widehat{\sigma}_z }{2}} \left( |0 \rangle + | 1 \rangle \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{\frac{i \omega_0 t}{2}} |0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{-i \omega_0 t}{2}} |1 \rangle\)
これは次のように書くこともできます：
\(| \psi(t) \rangle = \frac{e^{\frac{-i \omega_0 t}{2}}}{\sqrt{2}} \left( |0 \rangle + e^{i \omega_0 t}| 1 \rangle \right) \)
繰り返しになりますが、グローバル位相の実際の値 \(e^\frac{-i \omega_0 t}{2}\) は物理的な意味を持たず、∣0⟩ または ∣1⟩ を読み出す確率は時間とともに変化しません。ただし重要なのは、∣0⟩ と ∣1⟩ の相対位相が周波数 \(\omega_0 \) で時間とともに変化するということです。
このホワイトペーパーの最初の部分では、2レベル量子システムの概要を説明しました。 第2部では、この位相差を視覚化して結果を確認し、プロトコルとハードウェアの実装について説明します。
参考文献と脚注
[1] ディヴィンチェンツォ、デイヴィッド.量子計算の物理的実装. https://doi.org/10.48550/arXiv.quant-ph/0002077
[2] この解のより正式な導出、特にシュレーディンガー方程式から時間発展演算子がどのように生じるかなどについては、標準的な量子力学の教科書を参照してください。グリフィス著『量子力学入門』は特に分かりやすく、広く愛読されていますが、それには十分な理由があります。