파트 3: 제어 루프의 안정성 평가
이 시리즈에서는 주파수 영역에서 발생하는 피드백 제어에 대한 간략한 소개를 통해 루프를 설계하고 디버깅하기 위한 실용적인 참고 자료를 제공합니다.
부품 3 : 안정성과 지연
3.1 개요
이제 우리는 이전 부분의 피드백 제어 루프의 기본 속성에 대해 알게 되었습니다. 이 시리즈, 그것들을 논의한 후 파트 2. 이제 우리는 이 분야에 새로 온 사람들을 혼란스럽게 하는 경향이 있는 주제, 즉 안정성에 대해 이야기하겠습니다. 다행히도 주파수 영역에서의 작동은 이 주제를 비교적 간단하게 다룰 수 있게 해줍니다.
파트 1 전달 함수의 정의를 확립하고 정교한 시스템을 모델링하기 위한 제어 루프 블록 다이어그램을 구성할 수 있는 구성 요소를 제공합니다. 파트 2 피드백 제어 시스템을 사용하여 교란을 억제하거나 프로세스 설정점을 추적하는 방법을 보여줍니다. 노이즈가 많은 센서와 관련된 복잡성도 논의합니다. 개방 루프 시스템과 달리 피드백 제어를 받는 장치는 불안정해질 가능성이 있으며 성능과 견고성 사이에 긴장이 있습니다. 궁극적으로 신호 전파 지연이 가장 엄격한 한계를 부과할 수 있습니다. 이러한 문제는 여기 3부에서 다룹니다. 주파수 영역에서 피드백 시스템의 대부분 매개변수는 개방 루프 전달 함수에 연결될 수 있습니다. 파트 4 이 중요한 양을 측정하는 방법을 설명하고 이를 형성하는 데 자주 사용되는 함수 목록을 제공합니다. 파트 5 액추에이터 포화를 피하는 한 가지 방법을 설명하고, 그렇게 하면서 여러 액추에이터의 처리에 유용한 아이디어를 소개합니다. 저희 시리즈는 파트 6 연구와 함께 PID 컨트롤러. 이 공통 제어 아키텍처는 일반적으로 시간 영역 관점에서 고려됩니다. 우리는 보완적인 주파수 영역 표현을 설명합니다.
3.2 안정
지금까지 도출된 모든 전달 함수는 분모가 1+임을 알 수 있습니다. G어디로 G 는 개방 루프 전달 함수입니다. 따라서, 만약 G = −1이 되면 시스템은 불안정해지고 출력이 무한대로 증가합니다. 실제로 −1에 가까워질수록 링잉 현상과 이득 피크 현상이 발생합니다(그림 3.2 참조). 따라서 이득과 위상을 다음과 같이 정의합니다. 여백 우리가 이 불안정한 지점으로부터 얼마나 '멀리' 떨어져 있는지 정량화하는 것입니다. 이익 마진: \(omega_{180}\)를 ∠가 발생하는 주파수라고 하자.G = −180°. 이득 여유, GM 그러면 다음과 같이 정의됩니다.
\(GM = frac{1}{left| G(iomega_{180})right|}\) 또는 \(GM[dB] = -20 log_{10} left( left| G(iomega_{180})right| right)\).일반적으로 이득 여유는 이득이 한계에 도달하기 전에 이득을 얼마나 증가/감소시킬 수 있는지를 알려줍니다. G = −1 포인트. 이 맥락에서 프로세스 효율성이나 정렬과 같은 요인으로 인한 이득 변화는 사용자가 시작한 변화보다 더 중요합니다. 위상 여유도: \(omega_{UGF}\)는 |G| = 1. 위상 여유 PM 로 정의된다
위상 여유(PM)는 불안정성에 도달하기 전에 허용할 수 있는 추가 위상 지연의 양을 나타냅니다. 우리는 위상이 일정하다고 가정하여 이러한 여유를 공식화했습니다. 지연, 일반적으로 그렇습니다. 개방 루프 전달 함수가 위상을 나타내야 합니까? 리드, 우리는 ∠에 초점을 맞춰 여백을 구성할 것입니다.G = +180° 포인트, 여기서 G = −1은 달성 가능합니다. 안정성을 확보하려면 양의 위상 여유, \(left| angle G(i omega_{UGF}) right| < 180^{circ}\)가 있어야 하고, 시스템이 처음부터 개루프 안정적이어야 합니다. 좀 더 공식적으로 말하면, 1 + 이면 불안정성이 발생합니다. G(s)에는 오른쪽 반평면 0이 포함되어 있습니다. 엄격한 처리를 통해 도달하지 못하더라도 불안정성이 가능하다는 것을 알 수 있습니다. G = −1. 위의 규칙은 대부분의 시스템(즉, 최소 위상 시스템)에서 이러한 상황을 다룹니다. 또한 시스템이 두 가지 유형의 마진을 여러 개 나타내는 경우도 드물지 않습니다. 폐루프 안정성을 평가할 때는 각각의 마진을 개별적으로 고려해야 합니다. 그림 3.1은 이득 및 위상 마진이 표시된 일반적인 개루프 주파수 응답을 보여줍니다. 이 시리즈의 이 부분에서는 안정성에 중점을 두었습니다. 안정성은 강건성과는 다르다는 점을 강조합니다. 강건한 시스템을 구현하려면 두 가지 모두 필요합니다. PM GM 가능한 한 크게 설정해야 합니다. 하지만 마진이 클수록 절대적인 성능이 저하되는 경향이 있으므로 설계자는 정보에 입각한 절충안을 마련해야 합니다(그림 3.2 참조).
그림 3.1: 일반적인 오픈 루프 전달 함수의 이득 및 위상 마진. 이 시스템은 여러 이득 마진을 가지고 있으며 이득이 증가하면 불안정해질 수 있습니다. or 감소. 이러한 시스템은 다음과 같이 명명됩니다. 조건부로 안정적입니다. 시스템이 조건부로 안정적일 경우 잠금을 획득할 때 주의해야 합니다. 원하는 작동 지점에 도달하기 위해 점차적으로 이득을 증가시키는 것은 효과가 없습니다.
그림 3.2: 위: 두 개의 개방 루프 전달 함수. 첫 번째는 1kHz의 단위 이득을 가지고 있고, 두 번째는 5kHz이며, 전체 이득을 간단히 증가시켜 실현되었습니다. 아래: 해당 1/(1 +G) 전달 함수(외란 제거와 관련됨, (2.1) 참조). 이득이 증가하면 저주파 성능이 향상됨을 알 수 있습니다. 그러나 이득이 1 부근에서는 외란이 실제로 증폭됩니다. 이러한 현상을 다음과 같이 알려져 있습니다. 이득 피킹위상 여유가 줄어들수록 이득 피크가 증가합니다. 그림 3.4(부록 A)도 참조하십시오. 일반적인 규칙:
- 단위 이득에서 OLTF의 기울기는 1이어야 합니다./f
- 이득 마진은 2보다 크거나 0.5보다 작아야 합니다.
- 위상 여유도는 다음과 같아야 합니다. > 외란 제거를 위해 30°로 설정하십시오. > 기준 추적을 위한 45°
3.3 지연
피드백 루프의 지연은 안정성에 영향을 미칩니다. 지연은 디지털 처리로 인해 발생할 수도 있고, 설비 자체의 특성으로 인해 발생할 수도 있습니다. 예를 들어, 샤워기에서 물이 너무 차가웠다가 갑자기 너무 뜨거워지는 경우를 생각해 보세요. 지연의 전달 함수는 다음과 같습니다. τ 인간을 라플라스 도메인 is
\(H_{delay}(tau, s) = e^{-s tau}\). 이러한 지연은 위상 여유를 \(omega_{UGF} tau\)만큼 감소시킵니다. 그림 3.3은 지연의 전달 함수와 일반적인 OLTF에 미치는 영향을 그래프로 나타낸 것입니다. 지연은 안정화 대상 시스템의 필수적인 부분이며 제거할 수 없기 때문에 궁극적인 루프 성능을 제한하는 주요 요인입니다.
그림 3.3: 위쪽: 지연 시간(이 경우 10µs)의 주파수 응답. 크기는 모든 주파수에서 1이고 위상각은 -입니다.Ωτ. 하단: 위의 지연을 포함한(파란색 실선) 일반적인 OLTF와 포함하지 않은(주황색 점선) OLTF. 지연은 위상 여유를 줄이고 설계 자유도를 제한합니다.
3.4 제품 개요
이 시리즈의 이 권에서는 시스템이 불안정성에서 얼마나 '멀리' 떨어져 있는지 정량화하는 지표를 배치했으며, 루프가 게인 피킹을 통해 교란을 증폭시킬 수 있다는 것을 관찰했습니다. 특히 피할 수 없는 지연이 있는 경우에 그렇습니다. 대부분의 경우 성능과 안정성은 피드백 제어 루프 설계에 반대되는 요구를 합니다. 루프 설계의 진정한 기술은 다양한 제약 조건을 동시에 균형 잡기 위해 컨트롤러의 모양을 조정하는 것입니다. 이 '루프 셰이핑'은 다음에 다루겠습니다. 파트 4 우리 시리즈의.
부록: 그림의 시스템의 단계 응답 3.2
그림 3.4: 그림 3.2에 설명된 두 시스템의 설정값에 대한 단위 계단 입력에 대한 시간 응답. 위상 여유가 작을수록 오버슈트가 커지고 더 많은 오차가 발생합니다. 진동적 행동. 현재 우리의 치료는 주파수 영역 기술에 집중되어 있기 때문에 이 플롯은 부록으로 밀려났습니다. 그럼에도 불구하고, 우리는 이것이 두 영역의 중요성과 상호 보완성을 강조하기를 바랍니다.