나이퀴스트 샘플링 정리
나이퀴스트-섀넌 샘플링 정리는 신호의 대역폭과 신호를 분해하는 데 필요한 샘플링 속도 사이의 관계를 나타냅니다. 주기가 인 사인파가 있다고 가정해 보겠습니다. T, 한 주기 내에서 최소 두 지점을 샘플링하면 해당 파형을 재구성할 수 있습니다. 예를 들어, 1MHz 신호의 주기는 1μs입니다. 이 사인파를 포착하려면 최소 500ns마다 한 번씩 샘플링해야 하며, 이는 2MSa/s의 샘플링 속도에 해당합니다. 하지만 신호는 종종 단순한 사인파보다 더 복잡합니다. 디지털 샘플에서 다중 톤 아날로그 신호를 재구성하려면 신호에 존재하는 가장 높은 주파수 성분의 주기 내에서 최소 두 지점을 캡처해야 합니다.
입력 채널이 여러 개인 경우, 지정된 샘플링 속도는 채널별 속도 또는 전체 결합 속도일 수 있습니다. 이는 아날로그-디지털 변환기(ADC)의 특성과 처리 속도에 따라 달라집니다(그림 1 참조). 예를 들어, 모쿠:델타 이 제품은 8개의 입력 채널 각각에서 5 GSa/s의 샘플링 속도를 제공합니다.
이로써 우리는 나이퀴스트-섀넌 샘플링 정리로 이어집니다. 주어진 신호를 정확하게 포착하려면 샘플링 속도는 해당 신호 대역폭의 최소 두 배 이상이어야 합니다.이는 방정식 1에 나타나 있습니다.
\(\frac{f_s}{2} > B\) (1)
여기서 \(f_s\)는 ADC의 샘플링 속도이고 B는 신호의 대역폭입니다. 실제로 이 차단 주파수 \(f_s/2\)는 소위 제1 나이퀴스트 영역의 경계를 나타냅니다. 이후의 나이퀴스트 영역은 식 2에서 볼 수 있듯이 \(f_s/2\)의 정수배에서 발생합니다.
nth Nyquist 영역 경계 \(= \frac{nf_s}{2} \)는 \(n= 1,2,3…\)에 대한 것입니다. (2)
예시로 든 2 MSa/s의 경우, 첫 번째 나이퀴스트 영역은 0Hz에서 1MHz까지입니다. 두 번째 나이퀴스트 영역은 1MHz에서 2MHz까지입니다. 그림 2는 서로 다른 나이퀴스트 영역을 보여줍니다. 이후 섹션에서는 더 높은 나이퀴스트 영역의 신호가 측정에 미치는 영향에 대해 자세히 살펴보겠습니다.
앨리어싱
샘플링 속도가 관심 신호 주파수의 2배보다 낮으면(느리면) 에일리어싱이 발생합니다. 일반적으로 에일리어싱은 피해야 할 부정적인 현상이지만, 언더샘플링의 경우에는 오히려 이를 이점으로 활용할 수 있습니다.
신호 또는 주파수 성분이 첫 번째 나이퀴스트 영역 밖에 있더라도 ADC는 여전히 이를 디지털화합니다. 나이퀴스트 한계를 초과하는 주파수의 경우, ADC는 해당 주기 내에서 신호를 정확하게 포착하기에 충분한 샘플링 포인트를 생성하지 못합니다. 그 결과는 다음과 같습니다. 앨리어싱이름에서 알 수 있듯이, 에일리어싱은 더 높은 주파수 성분이 다른 더 낮은 주파수에서 나타나는 것처럼 보일 때 발생합니다. 그림 3에서 이러한 현상의 예를 확인할 수 있습니다. 6GHz 신호의 샘플은 첫 번째 나이퀴스트 영역 내에 있는 1GHz 신호와 완벽하게 일치합니다. 결과적으로 ADC는 이를 1GHz 주파수로 해석합니다. 6GHz 신호가 1GHz로 "에일리어싱"된다고 하는 이유는 이것이 실제 1GHz 신호가 아니라 ADC의 언더샘플링으로 인해 발생하는 인공적인 현상이기 때문입니다.
언더샘플링은 고주파 신호를 특정 주파수에서 더 낮은 나이퀴스트 영역으로 겹치게 만듭니다. 입력 신호가 더 높은 나이퀴스트 영역에서 발생하면, 이 신호의 에일리어싱은 나이퀴스트 영역 차단 주파수 주변에서 대칭적으로 나타납니다. 예를 들어, 6GHz 신호는 5GHz 나이퀴스트 영역 경계에서 1GHz 떨어져 있으므로, 에일리어싱은 2GHz에서 발생합니다.nd 나이퀴스트 영역은 4GHz에서 발생합니다. 이 4GHz 신호는 1GHz 신호에서 1.5GHz 떨어져 있습니다.st 나이퀴스트 영역 경계는 2.5GHz이므로 에일리어싱은 1GHz에서 발생합니다. 이는 그림 3과 그림 4에서 확인할 수 있습니다. 첫 번째 나이퀴스트 영역의 주파수 f가 주어지면1그러면 f에서 어떤 더 높은 나이퀴스트 영역 주파수가 에일리어싱을 일으킬지 계산할 수 있습니다.1 방정식 3을 사용하면 다음과 같습니다.
\(f = n f_s \pm f_1\) for \(n=1,2,3…\) (3)
f가 있는 곳s 샘플링 속도입니다. 최종 결과는 다음과 같습니다. 에일리어싱 현상으로 인해 6GHz, 4GHz, 1GHz의 입력 주파수가 모두 ADC에 동일하게 나타납니다.
이러한 동작은 소위 스펙트럼 미러링 현상을 일으킵니다. 주파수 범위로 구성된 입력 신호가 3의 스펙트럼 영역에 속하면,rd 나이퀴스트 영역이라면 신호의 스펙트럼 프로파일은 2에서 반전되어 나타날 것입니다.nd 나이퀴스트 영역. 1의 프로필st 나이퀴스트 영역은 원래 모습과 동일하게 보일 것입니다. 이는 그림 5에서 확인할 수 있습니다.
에일리어싱은 일반적으로 최종 사용자에게 불편함을 초래하므로 피하는 것이 가장 좋습니다. 신호에 존재하는 고주파 성분으로 인한 에일리어싱은 저주파 영역에서 측정된 스펙트럼을 크게 왜곡할 수 있습니다. 예를 들어, 1GHz 신호에 4GHz와 6GHz에서 약한 이미지 성분이 포함되어 있다고 가정해 보겠습니다. 이러한 성분들은 일반적으로 전력이 매우 낮지만, 1GHz까지 에일리어싱을 일으켜 기본 주파수의 전력이 실제보다 더 높게 나타나게 할 수 있습니다.
이 문제는 신호가 복잡하거나 주파수 변조될수록 더욱 심각해집니다. 하지만 간단한 해결책이 있습니다. 대부분의 아날로그 프런트엔드는 신호가 ADC로 들어가기 전에 필터 단계를 거칩니다. 적절한 필터링을 통해 에일리어싱 현상을 크게 줄일 수 있는데, 이를 안티에일리어싱 필터링이라고 합니다.
Moku:Delta 및 더 높은 나이퀴스트 영역 사용
Moku:Delta는 5 GSa/s의 샘플링 속도와 2 GHz의 대역폭을 갖습니다. 프런트엔드에는 2 GHz 이상의 입력 주파수를 감쇠시키는 저역 통과 필터가 포함되어 있습니다. 이 필터는 고주파 성분을 제거하고 첫 번째 나이퀴스트 영역 내의 신호를 정확하게 유지합니다. 그러나 사용자가 주의를 기울인다면, 언더샘플링을 통해 더 높은 주파수 신호를 감지할 수 있습니다.
MokuOS 4.2 버전부터 Moku:Delta는 입력 신호를 2GHz 저역 통과 필터 대신 발룬을 통해 라우팅하는 옵션을 제공합니다. 이 옵션은 단일 기기 모드에서는 다른 신호 컨디셔닝 옵션과 함께 표시되며, 다중 기기 모드에서는 입력 포트를 클릭하여 찾을 수 있습니다. Moku:Delta의 8개 입력 각각에 대해 이 옵션을 개별적으로 활성화할 수 있습니다. 그림 6에서 이 옵션을 확인할 수 있습니다.
이 기능은 사용자가 Mokus:Delta의 ADC가 제공하는 전체 아날로그 대역폭을 활용하여 스펙트럼 분석기나 록인 증폭기와 같은 다양한 Moku 기기로 데이터를 분석하거나, 기가비트 스트리머를 사용하여 데이터를 저장 장치로 스트리밍할 수 있도록 합니다. 언더샘플링은 믹서처럼 작동하여 위상 정보를 유지하면서 특정 주파수로 신호를 다운컨버팅합니다. 이 옵션을 사용하면 노이즈를 포함한 모든 잡음 주파수도 첫 번째 나이퀴스트 영역에 포함됩니다.
최상의 결과를 얻으려면 신호 프로필의 특성을 이해하고 다음 사항을 고려해야 합니다.
아날로그 대역폭
이론적으로 언더샘플링을 사용하면 모든 나이퀴스트 영역의 신호를 분석할 수 있지만, 실제로 사용 가능한 최대 주파수는 Moku:Delta의 아날로그 대역폭에 의해 제한됩니다. Moku:Delta 사용자가 고주파 입력 신호의 예상 감쇠량을 파악할 수 있도록 아래 그림 7에서는 처음 세 개의 나이퀴스트 영역(최대 7.5GHz)에 대한 주파수 응답 그래프를 제공합니다. 3차 나이퀴스트 영역에서의 롤오프를 고려하면,rd 나이퀴스트 영역에서 언더샘플링을 사용하는 Moku:Delta의 최대 권장 주파수는 6GHz입니다. 이는 언더샘플링이 스퓨리어스 또는 고조파를 감지하는 데 유용할 수 있지만, 일반적으로 절대 전력 측정에는 적합하지 않다는 것을 의미합니다.
필터링
관심 신호의 측정 품질을 향상시키려면 자체 필터링을 적용하는 것이 중요합니다. 적절하고 좁은 통과 대역을 가진 대역 통과 필터를 추가하면 간섭과 노이즈를 줄일 수 있습니다. 예를 들어, 관심 신호가 약 4GHz인 경우 신호 생성 후 대역 통과 필터 또는 저역 통과 필터를 적용하면 다른 고조파의 영향을 줄이는 데 도움이 됩니다. Delta의 경우 4GHz 신호는 1GHz 신호와 에일리어싱되지만, 8GHz와 같은 다른 고주파 신호의 진폭이 크게 감소하여 원래 신호를 더욱 정확하게 나타낼 수 있습니다. 다음 두 섹션에서 예시를 참조하십시오.
록인 증폭기를 이용한 큐비트 상태 판독
다음 예시를 통해 언더샘플링의 활용 사례를 설명하겠습니다. 양자 컴퓨팅에서 고체 또는 초전도 큐비트는 일반적으로 분산 판독(dispersive readout)이라는 기술을 사용하여 측정됩니다. 6.5GHz의 판독 신호가 AWG(Adaptive Waveguide Grating)에서 송신되어 큐비트에 반사됩니다. 이 판독 펄스의 위상 변화에는 큐비트의 상태에 대한 정보가 담겨 있습니다. 이 경우, 관심 있는 신호는 6.5GHz 주변의 좁은 대역에만 존재하므로 언더샘플링은 이 정보를 추출하는 효과적인 방법이 될 수 있습니다. 이 신호는 Moku:Delta 스펙트럼 분석기를 사용하여 확인할 수 있으며, 1.5GHz에서 나타납니다.
신호를 더욱 깨끗하게 하기 위해 먼저 대역 통과 필터를 통과시킨 다음, Moku:Delta 아날로그 프런트엔드에서 언더샘플링합니다. 이렇게 하면 펄스 주파수가 6.5GHz에서 1.5GHz로 효과적으로 다운컨버전되어 Moku:Delta의 주파수 범위 내에 들어가게 됩니다. 그런 다음 록인 증폭기가 펄스를 복조하여 직교 진폭 정보를 복구하고 큐비트 상태를 판별할 수 있습니다. 이 절차의 예는 그림 8에서 확인할 수 있습니다.
Moku 스펙트럼 분석기를 이용한 스퍼 및 고조파 검출
이 섹션에서는 고조파 및 스퓨리어스 측정 또는 특정 주파수 성분의 존재 감지와 같은 응용 분야에서 언더샘플링을 사용하여 Moku:Delta 대역폭 외부의 신호를 감지하는 방법을 보여줍니다.
그림 9에서 볼 수 있듯이, 최대 12GHz 범위의 외부 마이크로파 발생기를 Delta의 아날로그 프런트 엔드 입력 1에 연결했습니다. 다양한 출력 주파수에서 스퓨리어스와 고조파의 존재 여부를 조사하여 마이크로파 발생기의 품질을 특성화하고자 합니다. 스펙트럼 분석기를 작동시키고 결과를 확인합니다.
첫 번째 테스트는 마이크로파를 사용하여 단일 톤을 생성하고 언더샘플링 모드에서 예상 주파수에서 에일리어싱이 발생하는지 확인하는 것입니다. 스펙트럼 분석기를 단일 기기 모드로 사용할 때, 6GHz 활성화 옵션은 오른쪽 패널의 다른 신호 컨디셔닝 옵션과 함께 찾을 수 있습니다(그림 10 참조). 먼저 마이크로파 발생기를 사용하여 1GHz의 연속 톤을 생성합니다. 그림 9에서 볼 수 있듯이 기본 주파수는 첫 번째 나이퀴스트 영역(Moku:Delta의 경우 최대 2.5GHz) 내에 있으므로 "실제" 주파수인 1GHz로 나타납니다. 두 번째 고조파(2f) 또한 첫 번째 나이퀴스트 영역 내에 있으며 2GHz로 나타납니다. 이 고조파는 Moku에서 발생하는 것이 아니라 마이크로파 발생기에서 생성되는 것임을 유의하십시오.rd 이 경우 3GHz의 고조파는 2GHz에서도 에일리어싱 현상을 일으킬 것입니다. 이는 방정식 3을 사용하여 확인할 수 있습니다.
이 경우, 관심 신호가 첫 번째 나이퀴스트 영역 내에 있고 2GHz 대역폭 차단으로도 충분하므로 Moku:Delta에서 6GHz 대역폭 모드를 사용하는 것은 권장되지 않습니다. 그럼에도 불구하고 신호의 스펙트럼을 살펴보면 2GHz 대역폭 차단이 충분함을 알 수 있습니다.nd 그리고 약 30dBc 부근에서 더 높은 고조파가 발생합니다. 이전 섹션에서 논의한 주파수 감쇠를 고려하면, 전력 고조파가 제조업체 사양 범위 내에 있음을 알 수 있습니다.
이제 두 번째 나이퀴스트 영역으로 이동하여 3GHz에서 신호 발생기를 살펴보겠습니다. 3GHz 톤이 2GHz에서 에일리어싱될 것으로 예상되며, 이는 식 3을 통해 확인할 수 있습니다. 그림 11에 표시된 스펙트럼은 이러한 현상을 보여줍니다. 6GHz에서 발생하고 1GHz에서 에일리어싱되는 2차 고조파는 진폭이 크게 감소된 상태로 나타납니다. 이는 6GHz에 가까워질수록 Moku Delta 프런트엔드에 의한 심한 감쇠 때문입니다.
스펙트럼을 분석해 보면 마이크로파 소스에서 유래한 500MHz 부근의 스퓨리어스 신호가 나타납니다. 그러나 에일리어싱된 영역에서만 관찰할 경우, 그 실제 발생 지점은 즉시 명확하지 않습니다. 식 3을 이용하면 500MHz에서 관찰되고 5GSa/s로 샘플링된 신호는 4.5GHz, 5.5GHz, 9.5GHz 또는 동일한 패턴을 따르는 다른 주파수의 실제 신호에 해당할 수 있음을 알 수 있습니다.
이는 언더샘플링의 중요한 한계를 보여줍니다. 에일리어싱은 스펙트럼 내용은 보존하지만 절대 주파수 정보는 손실합니다. 신호 대역에 대한 사전 지식이나 입력 주파수 변화에 따른 스펙트럼 성분의 변동과 같은 추가적인 제약 조건이 없다면, 에일리어싱된 신호의 실제 출처를 파악하기 어려울 수 있습니다. 따라서 언더샘플링된 스펙트럼을 해석할 때는 주의해야 합니다.
이 잡음의 발생 원인을 더 자세히 조사하기 위해 그림 12에서와 같이 마이크로파 소스와 Moku:Delta 사이에 2-4GHz 대역 통과 필터를 삽입했습니다. 이렇게 하면 잡음이 2-4GHz 대역 밖에서 발생할 경우 감쇠되므로 잡음의 발생 위치를 정확히 파악하는 데 도움이 됩니다.
스펙트럼 분석기를 다시 살펴보면 그림 13에서 볼 수 있듯이 추가된 필터의 결과를 확인할 수 있습니다. 3GHz에서 발생하는 고조파는 약 1dB의 감쇠와 함께 2GHz의 원래 주파수에 그대로 남아 있습니다.nd 1GHz에서의 고조파 및 에일리어싱은 대역 통과 필터 범위를 벗어나므로 스펙트럼에서 더 이상 나타나지 않습니다. 아티팩트는 약 2~3dB 정도 감쇠된 상태로 남아 있습니다. 따라서 이 아티팩트의 실제 주파수는 4.5GHz라고 추론할 수 있습니다. 4.5GHz는 필터의 통과 대역 바로 바깥에 위치하므로 500MHz나 5.5GHz에서처럼 크게 감쇠되지 않기 때문입니다. 이 4.5GHz 톤은 주파수 소스 내부에 있는 부분 PLL 분배기에서 발생하는 것으로 추정됩니다.
이 섹션에서는 언더샘플링을 통해 나이퀴스트 주파수가 높은 영역의 스펙트럼을 분석하는 방법을 설명했습니다. 스펙트럼 분석기와 신중하게 선택한 대역 통과 필터를 결합하면 모호한 주파수 성분을 분리하고 그 발생 주파수를 판별할 수 있습니다. 에일리어싱된 스펙트럼을 해석할 때 주의를 기울인다면, 언더샘플링은 스펙트럼 내용을 보존하면서 고주파 신호를 측정하는 효과적인 방법이 될 수 있습니다.
맺음말
이 글에서는 샘플링을 통해 아날로그 정보를 디지털 정보로 변환하는 방법을 살펴보았습니다. Moku:Delta의 언더샘플링 모드를 활용하여 스펙트럼 분석기 및 기타 장비의 아날로그 대역폭을 확장하는 방법을 보여줍니다. 나이퀴스트 주파수 이하로 샘플링하면 스펙트럼 정보는 보존되지만 절대 주파수 원점은 숨겨집니다. 따라서 스펙트럼 미러링과 같은 고유한 아티팩트뿐만 아니라 이러한 이유로 측정된 스펙트럼을 분석할 때는 주의해야 합니다. 최적의 결과를 얻으려면 관심 대역폭 주변을 필터링하고 측정된 신호의 구성을 이해하는 것이 좋습니다.