원래 원자 시계 발진기의 안정성을 평가하기 위해 고안된 앨런 분산(Allan variance)은 표준 편차와 같은 통계가 고려하지 않는 다양한 시간 척도에 대한 주파수 안정성을 강력하게 측정합니다. 앨런 분산은 재구성 가능한 테스트 및 측정 장비를 내장한 FPGA 기반 장치인 Moku를 사용하여 수행할 수 있습니다. 고유한 위상 계측기 장비를 사용하면 들어오는 주기 신호의 초정밀 위상, 주파수 및 진폭 데이터를 기록할 수 있을 뿐만 아니라 Allan 분산과 같은 통계를 실시간으로 계산하고 플롯할 수 있습니다.
PDF 다운로드
이 애플리케이션 노트를 PDF로 저장하세요.
Allan 분산의 간략한 역사
시스템은 얼마나 안정적입니까? 이 질문에 답할 수 있는 여러 도구가 있습니다. 1960년대, 미국 국립표준기술연구소(당시 미국 국립표준국)에서 광시계를 연구하던 데이비드 W. 앨런은 새로운 광시계를 발명했습니다[1].
Allan은 샘플 수가 증가함에 따라 특정 소음원에 대해 표준 편차와 같은 기존 통계 측정이 분기된다는 사실을 발견했습니다. 이로 인해 그는 오늘날 그의 이름을 딴 새로운 시간 영역 측정법을 개발하게 되었습니다.
그 당시 Allan이 광시계를 연구하면서 원자 주파수 표준 분야를 위한 Allan 분산이 개발되었습니다. 결과적으로, 특히 발진기의 주파수 안정성 특성화와 관련하여 주제에 대한 논의가 해당 분야의 언어로 국한되는 경우가 많습니다.
그러나 Allan 분산은 모든 시계열에 대해 계산될 수 있습니다. 이 계열은 온도 센서의 출력이나 신호의 속성(주파수, 위상, 진폭 등)과 같은 신호 자체를 일정한 속도로 평가하여 나타낼 수 있습니다. 결과적으로 Allan 분산은 통신[2]에서 내비게이션[3]에 이르기까지 다양한 응용 분야에서 선호됩니다.
모쿠 위상 계측기 기기는 사용 가능한 후처리 옵션 중 하나로 Allan 분산을 제공합니다. Moku:Pro 아래 그림 1에서. 이 노트는 처음 접하는 사용자를 대상으로 통계에 대한 입문서를 제공합니다.
앨런 분산의 수학
Allan 분산의 기본 원리는 시계열을 동일한 기간의 섹션으로 나누고 각 섹션의 시간 평균이 이전 섹션의 평균과 어떻게 다른지 고려하는 것입니다. 데이터 세트 전체에 적용되는 이러한 차이가 작다면 시스템은 이 기간에서 안정적입니다.
보다 구체적으로, 연속 시계열 \(y(t)\, \)이 있다고 가정하면, 그 Allan 분산, \(\sigma^2_y(\tau)\, \)은 다음과 같이 정의됩니다.
\(\sigma^2_y(\tau) = \frac{1}{2} \langle ( \bar{y}_{i+1}\, – \bar{y}_{i} )^2 \rangle, \quad (1) \,\)
여기서 \(\langle . \rangle \)은 기대값(평균)을 나타내고 \(\bar{y}_{i} \)는 i평균의 두 번째 표본 y 관찰 시간 \(\tau \)에 대한 앨런 편차는 앨런 분산의 제곱근, 즉 \(\sigma(\tau) = \sqrt{\sigma^2(\tau)} \)과 같습니다. 이 식을 여러 관찰 시간 \(\tau \)에 대해 계산하면 데이터가 서로 다른 시간 척도에서 얼마나 자기 유사성(즉, 안정성)을 갖는지 파악할 수 있습니다.
방정식(1)에서 추론할 수 있듯이, \(\sigma(\tau) \)의 차원은 다음과 같습니다. y우리는 두 개의 \(\tau\)-초 길이 측정값 사이의 예상 평균 제곱근 차이 값을 해석합니다. y \(\tau \)초 간격으로 촬영되었습니다.
예를 들어, \(f_0 = 50\,\text{MHz} \)로 진동하는 클록을 생각해 보세요. 분수 주파수 차이 Y의 앨런 분산은 다음과 같이 정의됩니다.
\(Y = \frac{f-f_0}{f_0} = \frac{\델타 f}{f_0}, \quad (2) \)
1.23초 관측치(\(\tau = 10\,\text{s} \))에 대해 \(10\times10^{-10} \)이면, Y에 대한 두 개의 무작위로 선택된 연속적인 10초 측정값은 \(1.23\times10^{-10}\) RMS만큼 차이가 날 것으로 예상됩니다. 분수 주파수 차이의 정의를 고려할 때, 이는 \(\Delta f = 6.15\,\text{mHz} \) RMS의 예상 절대 주파수 차이와 동일합니다.
이제 유한한 길이의 실제 데이터 세트의 경우를 고려해보세요. M, 주기 \(T_s\, \)로 샘플링됨(그림 3). 샘플링된 시스템에서는 총 시간을 선택할 수 없습니다. τ 자유롭게 세트를 다음과 같이 나눕니다. K 길이가 \(\tau = n T_s\, \)인 세그먼트는 일부 \(n \in \mathbb{N}^+ \, \)에 대해 존재합니다. Allan 분산은 다음과 같이 근사될 수 있습니다.
\(\sigma^2_y(\tau = nT_s) \simeq \frac{1}{2(K-1)} \sum_{i=1}^{K-1} (\bar{y}_{i+1}\, – \bar{y}_{i})^2. \quad (3) \,\)
대략적으로, \(\sigma(\tau)\, \)의 불확도는 \(\pm \sigma(\tau)/\sqrt{K}\, \)입니다. 측정 불확도에 대한 완전한 처리는 이 연구의 범위를 벗어나므로 자세한 내용은 참고문헌 [4]를 참조하십시오. 결과에 대한 신뢰도를 높이고 귀중한 데이터를 더 효율적으로 사용하기 위해 데이터를 겹치는 세그먼트로 분할할 수 있습니다(그림 4). 이렇게 하면 이전의 \(K-2=M/n-1 \,\)과 달리 \(M-1n+1 \,\) 쌍의 연속 세그먼트가 생성됩니다. 이 겹치는 앨런 편차는 다음과 같습니다.
\(\sigma^2_y(\tau = nT_s) \simeq \frac{1}{2(M-2n+1)} \sum_{i=1}^{M-2n+1} (\bar{y}_{i+1}\, – \bar{y}_{i})^2. \quad (4) \,\)
통합을 통해 Allan 분산 얻기
많은 일반적인 측정 시나리오에는 다음과 같은 속성을 갖는 수량 x가 존재합니다.
\(x(t) = \int_0^t\, y(t')\, {\rm d}t'\, . \quad (5)\,\)
예를 들어, 클록 안정성 측정에서 시간 편차는 X는 분수 주파수 차이의 적분이며, Y, 그리고 측정된 각도가 있는 자이로스코프 시스템에서, θ는 회전율의 적분이며, Ω, ie
\(X(t) = \int_0^t\, Y(t')\, {\rm d}t'\ \text{ 및 }\ \theta(t) = \int_0^t\, \Omega(t')\, {\rm d}t'\, . \quad (6)\,\)
우리는 또한 계산을 자유롭게 할 수 있습니다 x 측정된 물리적 변수에 해당하지 않더라도 방정식 (5)의 수치 적분을 통해.
그런 경우는
\(\bar{y}(t) := \frac{1}{\tau}\int_t^{t+\tau}y(t')\, {\rm d}t' \quad (7) \,\)
\(= \frac{1}{\tau} [x(t+\tau) – x(t) ], \quad (8) \,\)
또는 별개의 용어로,
\(\bar{y}_i = \frac{1}{\tau} [ x_{i+n} – x_i ] , \quad (9) \,\)
방정식 (4)는 다음과 같습니다.
\(\sigma^2_y(\tau = nT_s) \simeq \frac{1}{2(nT_s^2)(N-2n)} \sum_{i=1}^{N-2n} (x_{i+2n} – 2x_{i+1}\, + x_{i})^2, \quad (10)\,\)
어디에 N = M + 1 길이입니다 x. 이것을 이해하려면 다음을 고려하십시오. y 수치적 파생(차이)을 통해 구성될 수 있습니다. x그래서 남 = N - 1.
이는 추상적인 단순화처럼 보일 수 있지만 계산 효율성으로 인해 방정식 (10)은 가장 일반적으로 구현되는 Allan 분산의 공식을 제공합니다. 여기서 측정값은 다음과 같습니다. x 의 Allan 분산을 제공합니다. y가 아닌 x.
Allan 분산 플로팅
Allan 분산은 일반적으로 여러 평균 시간에 대해 계산되고 로그-로그 척도로 표시됩니다(그림 5). 이러한 플롯은 주어진 측정에 대한 최상의 평균화 시간을 결정하는 데 도움이 됩니다. 특히 저주파 드리프트가 있는 경우 평균화 시간이 길어지는 것이 항상 바람직한 것은 아닙니다.
또한, 일반적인 잡음원은 일반적으로 전력 법칙으로 설명되며, 이는 앨런 편차 플롯(Allan deviation plot)에서 알려진 기울기를 나타냅니다. 예를 들어, 백색 잡음은 평균 시간의 제곱근으로 감소합니다. 따라서 백색 잡음의 기울기는 다음과 같을 것으로 예상되며, 실제로 그렇습니다. 더 일반적으로, 전력 스펙트럼 밀도 측면에서 특정 잡음원의 기울기가 S \(f^\alpha \,\)이면 Allan 편차에 따른 기울기는 \(\tau^{-(\alpha+1)/2} \,\)가 됩니다. 즉,
\(S_y(f) \sim f^\alpha \Rightarrow \sigma(\tau) \sim \tau^{-(\alpha+1)/2}. \quad (11) \,\)
이 사실을 통해 다양한 평균 시간에 걸쳐 어떤 잡음 소스가 지배적인지 쉽게 확인하고, 잡음 예산을 구축하여 시스템 성능이 잘 이해되었는지 확인하거나, 각 오류 소스의 기여도를 정량화할 수 있습니다(그림 6).
표 1은 시계와 자이로스코프 연구에서 일반적으로 접하게 되는 잡음 소스의 기울기를 나타냅니다.
표 1: \(\sigma(\tau)\,\)의 기울기 거듭제곱(즉, β 여기서 \(\sigma(\tau) \sim \tau^\beta \,\))는 선택된 응용 프로그램의 다양한 노이즈 소스에 대한 것입니다[3, 5]. FM: 주파수 변조, PM: 위상 변조.
전력 스펙트럼 밀도 대 Allan 분산
앞서 언급했듯이 시스템의 안정성을 설명하는 데 사용할 수 있는 도구는 여러 가지가 있습니다. 앨런 편차가 시간 영역에서 안정성을 나타내는 지표인 반면, 주파수 영역에서는 전력 스펙트럼 밀도(PSD)인 \(S_y\)가 대응합니다. y의 차원이 \([u] \)이면 \(S_y\)의 차원은 \([u_{RMS}^2 / \text{Hz}] \)입니다. 물론 앨런 편차에 포함된 정보 \(\sigma_y(\tau) \)는 PSD에 포함된 정보의 대체 표현일 뿐이며, 닫힌 형태의 변환이 존재합니다([6]의 부록 I 참조). PSD에서 앨런 분산으로만 변환이 가능하며 그 반대로는 변환할 수 없습니다. 변환 공식은 다음과 같습니다.
\(\sigma_y^2(\tau) = \int_0^\infty S_y(f)\, |H(f)|^2\, {\rm d}f = 2 \int_0^\infty S_y(f) \왼쪽 [\frac{\sin^4{(\pi\tau f)}}{(\pi \tau f)^2} \오른쪽 ] {\rm d}f. \quad (12) \)
여기서, \(H(f) \)는 시간 영역 샘플링 함수의 전달 함수입니다.
이런 맥락에서 알아두어야 할 유용한 표현은 다음과 같습니다.
\(S_{y'}(f)=(2 \π f)^2 S_y(f), \quad (13) \)
여기서 \(y' = \partial y / \partial t \). 설명적인 예로, 위상의 PSD를 다음과 같이 변환할 수 있습니다.\파이) 잡음을 주파수(f) \(S_{f}(f)= f^2 S_\phi (f). \)에 따른 잡음.
맺음말
이 연구에서 우리는 Allan 분산에 대한 소개를 제공하고 그것이 어떻게 계산되고 해석될 수 있는지 보여주었습니다. 원래 오실레이터 안정성의 맥락에서 개발되었지만 여전히 통계가 가장 자주 사용되는 곳입니다. 그러나 우리는 이것이 모든 시계열에 적용 가능하고 광범위한 분야에서 유용하다는 점을 강조합니다.
Allan 분산은 특정 측정에 대한 이상적인 관찰 시간을 결정하고 주요 노이즈 소스를 식별하는 데 도움이 될 수 있습니다. 전력 스펙트럼 밀도를 Allan 분산으로 변환하는 것도 가능합니다.
Allan 분산은 귀중한 통계 도구이며 Moku Phasemeter의 데이터 후처리에 사용할 수 있는 많은 도구 중 하나입니다. 이 기능은 Phasemeter의 마이크로라디안 정확도 및 Moku:app을 통한 직관적인 인터페이스와 함께 Moku를 발진기 시스템의 안정성을 특성화하는 탁월한 장치로 만듭니다.
앨런 분산을 넘어서
표준편차에서 한계가 발견된 것처럼 Allan 편차도 모든 경우에 이상적인 통계는 아닙니다. 특정 상황에서 향상된 성능을 제공하는 일반적으로 사용되는 두 가지 Allan 편차 파생물에 대해 여기서는 완전성을 위해 간략하게 설명합니다.
수정된 앨런 편차
위에서 앨런 편차 그래프(그림 6)에서 추적된 기울기를 기반으로 잡음원을 식별할 수 있다는 가능성을 언급했습니다. 그러나 여러 잡음원은 동일한 기울기를 나타냅니다. 특히, 발진기 백색 위상 변조(WPM) 잡음과 플리커 위상 변조(FPM) 잡음은 모두 \(\tau^{-1} \)의 기울기를 생성합니다(표 1 참조). 그러나 WPM은 측정 대역폭에 민감한 반면 FPM은 그렇지 않습니다. 추가적인 평균화를 구현함으로써 n 인접한 측정값, 여기서 \(\tau = nT_s \) 수정 앨런 편차, \(\rm{mod}\sigma_y(\tau)\)는 \(\tau \)에 따라 선형적으로 좁아지는 유효 대역폭을 생성하며 이러한 잡음 소스를 구별할 수 있게 합니다[7]. 수정된 앨런 분산은 다음과 같습니다.
\(\rm{mod}\, \sigma_y^2(\tau=nT_s) = \frac{1}{2} \left\langle \left [\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left (\bar{y}_{i+n} – \bar{y}_i \right ) \right ]^2 \right\rangle, \quad (14)\)
또는 보다 실질적으로,
\(\rm{mod}\, \sigma^2_y(\tau = nT_s) \simeq \frac{1}{2n^2(nT_s)^2(N-3n+1)} \sum_{j=1}^{N-3n+1} \left [ \sum_{i=j}^{j+n-1} (x_{i+2n} – 2x_{i+1}\, + x_{i})\right ]^2, \quad (15)\)
\(n \in \{1,2,…,N/3 \}. \)
시간편차
수정된 Allan 편차를 기반으로 하는 또 다른 측정 항목은 시간 편차 또는 시간 Allan 편차 \(TDEV(\tau) \)로 정의됩니다.
\(TDEV^2(\tau) = \frac{\tau^2}{3} \rm{mod}\, \sigma_y^2(\tau). \quad (16) \)
이는 수정된 앨런 편차의 "기울어진" 버전에 불과합니다(로그-로그 그래프의 모든 기울기는 \(\tau\)의 1승만큼 감소합니다). 정규화 계수는 \(n = XNUMX\)일 때 \(TDEV(\tau)\)가 백색 위상 변조(WPM) 잡음의 표준 편차와 일치하도록 선택됩니다.
TDEV는 또한 종종 \(\sigma_x(\tau)\\)로 표시되며, 이는 안정성을 설명한다는 사실을 명시합니다. x (보단 y), \(\tau \)라는 추가 요소로 인해.
이름에서 알 수 있듯이 이 측정은 평균 시간의 함수로 클록의 위상 변화를 설명하는 데 사용되는 분산 타이밍 신호의 특성화에 유용합니다.
참고자료
[1] DW Allan, “원자 주파수 표준의 통계”, IEEE 절차, 권. 54, pp. 221–230, 1966년 XNUMX월.
[2] L. Hua, Y. Zhuang, L. Qi, J. Yang 및 L. Shi, “Allan 분산을 사용한 가시광선 통신의 잡음 분석 및 모델링,” IEEE 액세스, 권. 6, pp. 74 320–74 327, 2018.
[3] IEEE, "단일축 간섭계 광섬유 자이로에 대한 IEEE 표준 사양 형식 가이드 및 테스트 절차", IEEE 표준 952-1997, 1~84페이지, 1997년.
[4] CA Greenhall 및 W. Riley, "유한차에 기반한 안정성 차이의 불확실성", 2004년 XNUMX월. [온라인]. 사용 가능: https://ntrs.nasa.gov/citations/20050061319
[5] W. Riley 및 D. Howe, “NIST 특별 간행물 1065: 주파수 안정성 분석 핸드북,” 2008년 XNUMX월. [온라인]. 사용 가능: https://tsapps.nist.gov/publication/getpdf.cfm?pub id=50505
[6] JA Barnes, AR Chi, LS Cutler, DJ Healey, DB Leeson, TE McGunigal, JA Mullen, WL Smith, RL Sydnor, RFC Vessot 및 GMR Winkler, "주파수 안정성 특성화" 계측 및 측정에 관한 IEEE 트랜잭션, 권. IM-20, 아니. 2, pp. 105–120, 1971.
[7] DW Allan 및 JA Barnes, "발진기 특성화 능력이 증가된 수정된 "Allan 분산"" 진행 35번째 앤. 주파수 제어 심포지엄. USAERADCOM, Ft. Nonmouth, NJ 07703: 시간 및 주파수 부문, 미국 표준국, 1981년 XNUMX월, https://tf.nist.gov/general/pdf/560.pdf.
