奈奎斯特采样定理
奈奎斯特-香农采样定理将信号的带宽与分辨该信号所需的采样率联系起来。如果你有一个周期为 π 的正弦波信号，那么…… T, 如果在一个周期内至少采样两个点，就可以重建该波形。例如，一个 1 MHz 的信号周期为 1 μs。要捕获这个正弦波，至少需要每 500 ns 采样一次，采样率为 2 MSa/s。然而，信号通常比简单的正弦波复杂得多。要从数字采样重建多音模拟信号，需要在信号中最高频率分量的周期内至少采集两个点。
对于多通道输入系统，指定的采样率可以是每个通道的采样率，也可以是所有通道的总采样率。这取决于模数转换器 (ADC) 的特性以及处理速度（参见图 1）。例如， Moku:Delta 它的八个输入通道中的每一个都提供 5 GSa/s 的采样率。
这就引出了奈奎斯特-香农抽样定理： 为了准确采集给定信号，采样率至少需要是该信号带宽的两倍。这在公式 1 中有所体现：
\(\frac{f_s}{2} > B\) (1)
其中 \(f_s\) 是 ADC 的采样率，B 是信号的带宽。实际上，这个频率截止值 \(f_s/2\) 代表了所谓的第一奈奎斯特区的边缘。后续的奈奎斯特区出现在 \(f_s/2\) 的整数倍处，如公式 2 所示：
nth 奈奎斯特区边缘 \(= \frac{nf_s}{2} \)，其中 \(n= 1,2,3…\) (2)
以 2 MSa/s 为例，我们的第一个奈奎斯特区范围为 0 Hz 至 1 MHz。第二个奈奎斯特区范围则为 1 MHz 至 2 MHz。图 2 展示了不同奈奎斯特区的示意图。在后续章节中，我们将详细讨论更高奈奎斯特区内的信号如何影响测量结果。
混叠
当采样率低于（慢于）目标信号频率的两倍时，就会发生混叠。通常情况下，混叠是一种需要避免的负面现象，但在欠采样的情况下，我们可以利用它。
即使信号或频率分量位于第一奈奎斯特区之外，ADC 仍然会对其进行数字化。对于高于奈奎斯特极限的频率，ADC 无法在周期内采样足够的点来精确捕获信号。这种结果称为…… 别名顾名思义，混叠是指高频分量出现在较低频率上，而其他频率分量却呈现混叠的现象。图 3 展示了这种现象的一个例子。6 GHz 信号的采样点与 1 GHz 信号完美匹配，而 1 GHz 信号恰好位于奈奎斯特区第一区内。因此，模数转换器 (ADC) 会将其解释为 1 GHz 的频率。我们称 6 GHz 的信号“混叠”到 1 GHz，因为它并非真正的 1 GHz 信号，而是 ADC 欠采样造成的假象。
欠采样会导致高频信号在特定频率处折叠到较低的奈奎斯特区。如果输入信号位于较高的奈奎斯特区，则该信号的混叠将围绕奈奎斯特区的截止频率镜像对称。例如，6 GHz 的信号距离 5 GHz 的奈奎斯特区边缘 1 GHz，因此其在 2 GHz 处的混叠频率会与奈奎斯特区的截止频率成镜像对称。nd 奈奎斯特区出现在 4 GHz 处。这个 4 GHz 的信号与 1 GHz 的信号相差 1.5 GHz。st 奈奎斯特区边缘频率为 2.5 GHz，因此混叠将发生在 1 GHz。这可以从图 3 和图 4 中看出。当给定第一奈奎斯特区内的频率 f 时，1我们可以计算出哪些更高的奈奎斯特区频率会在 f 处发生混叠。1 利用公式 3：
\(f = n f_s \pm f_1\)，其中 \(n=1,2,3…\) (3)
其中 fs 是采样率。最终结果是：由于混叠效应，6 GHz、4 GHz 和 1 GHz 的输入频率在 ADC 中表现得完全相同。
这种行为导致了所谓的频谱镜像。如果一个输入信号包含一系列频率，且这些频率位于 3 范围内，rd 在奈奎斯特区，信号的频谱轮廓将在第二部分中出现反转。nd 奈奎斯特区。1 中的剖面图st 奈奎斯特区与原图相同。如图 5 所示。
混叠通常会给最终用户带来不便，最好避免。信号中存在的高频分量引起的混叠会显著扭曲低频处的测量频谱。继续以我们的例子为例，假设一个 1 GHz 的信号包含 4 GHz 和 6 GHz 的微弱镜像分量。这些分量的功率通常很低，但它们仍然会发生混叠，影响到 1 GHz 的频率，使基频信号的功率看起来比实际更高。
对于更复杂或频率调制信号，这个问题会更加严重。不过，有一个简单的解决方法。大多数模拟前端在信号进入模数转换器 (ADC) 之前都有一个滤波级。适当的滤波可以显著降低混叠的影响，因此被称为抗混叠滤波。
使用 Moku:Delta 和更高的奈奎斯特区域
Moku:Delta 的采样率为 5 GSa/s，标称带宽为 2 GHz。其前端包含一个低通滤波器，用于衰减高于 2 GHz 的输入频率。这可以滤除高频成分，并精确地保留第一奈奎斯特区内的信号。然而，如果最终用户操作不当，仍有可能通过欠采样检测到更高频率的信号。
在 MokuOS 4.2 版本中，Moku:Delta 提供了一个选项，可以将输入信号通过巴伦（balun）而非 2 GHz 低通滤波器进行滤波。在单仪器模式下，该选项与其他信号调理选项一起提供；在多仪器模式下，则可通过点击输入端口找到该选项。Moku:Delta 的 8 个输入端口均可单独启用此选项。该选项如图 6 所示。
此功能允许用户访问 Mokus:Delta ADC 的全部模拟带宽，以便使用各种 Moku 仪器（例如频谱分析仪或锁相放大器）进行查看，或使用千兆流传输器将数据流传输到存储设备。欠采样实际上起到混频器的作用，在保留相位信息的同时，将信号下变频到特定频率。使用此选项时，任何杂散频率（包括噪声）也将被折叠到第一奈奎斯特区。
为了获得最佳结果，您需要了解信号特征并考虑以下因素：
模拟带宽
虽然理论上欠采样可以用于分析任何奈奎斯特区内的信号，但最大可用频率将受限于 Moku:Delta 的模拟带宽。为了让 Moku:Delta 用户了解高频输入信号的预期衰减，我们在下图 7 中提供了前三个奈奎斯特区（最高 7.5 GHz）的频率响应曲线。考虑到前三个奈奎斯特区的滚降，rd 在奈奎斯特区，Moku:Delta 欠采样模式下的最大推荐频率为 6 GHz。这也意味着，虽然欠采样可用于检测杂散或谐波，但通常不适用于绝对功率测量。
过滤
为了提高目标信号的测量精度，应用滤波至关重要。添加一个具有合适窄带通的带通滤波器可以降低干扰和噪声。例如，如果目标信号的频率在 4 GHz 左右，那么在信号生成后应用带通滤波器或低通滤波器有助于减少其他谐波的干扰。以 Delta 为例，4 GHz 信号会与 1 GHz 信号混叠，但其他高频信号（例如 8 GHz 信号）的幅度会大幅降低，从而更准确地反映原始信号。更多示例请参见接下来的两节。
利用锁相放大器进行量子比特态读出
我们用以下示例来说明欠采样的应用场景。在量子计算中，固态或超导量子比特通常通过一种称为色散读出的技术进行测量。从任意波形发生器 (AWG) 发出一个 6.5 GHz 的读出信号，该信号会被量子比特反射。该读出脉冲的相移包含了量子比特状态的信息。在本例中，唯一感兴趣的信号存在于 6.5 GHz 附近的一个窄带内，因此欠采样可以有效地提取该信息。可以使用 Moku:Delta 频谱分析仪验证该信号的存在，它会出现在 1.5 GHz 处。
为了进一步净化信号，首先将其送入带通滤波器，然后由 Moku:Delta 模拟前端进行欠采样。这有效地将脉冲频率从 6.5 GHz 下变频至 1.5 GHz，使其落入 Moku:Delta 的频率范围内。锁相放大器随后可以解调脉冲，恢复正交幅度信息并确定量子比特状态。图 8 展示了该过程的一个示例。
使用 Moku 频谱分析仪进行杂散和谐波检测
在本节中，我们将演示如何使用欠采样来检测 Moku:Delta 带宽之外的信号，用于测量谐波和杂散信号，或检测特定频率分量的存在等应用。
我们使用一台频率范围高达 12 GHz 的外部微波发生器，将其连接到 Delta 模拟前端的输入 1，如图 9 所示。我们希望通过检测不同输出频率下的杂散和谐波来表征该微波发生器的质量。我们启动频谱分析仪并查看结果。
第一个测试是使用微波发生器生成单音，并确认在欠采样模式下，它们会在预期频率处发生混叠。在单仪器模式下使用频谱分析仪时，可以在右侧面板上找到启用 6 GHz 的选项以及其他信号调理选项（参见图 10）。我们首先使用微波发生器生成一个连续的 1 GHz 单音。如图 9 所示，由于基频位于第一奈奎斯特区内（Moku:Delta 最高可达 2.5 GHz），因此它出现在其“真实”频率 1 GHz 处。二次谐波 (2f) 也位于第一奈奎斯特区内，出现在 2 GHz 处。请注意，此谐波并非由 Moku 引入，而是微波发生器产生的。rd 在这种情况下，3 GHz 的谐波也会在 2 GHz 处发生混叠。我们可以用公式 3 来验证这一点。
在这种情况下，不建议在 Moku:Delta 上使用 6 GHz 带宽模式，因为目标信号位于第一奈奎斯特区内，2 GHz 带宽截止频率已足够。尽管如此，我们仍然可以查看信号的频谱，并发现 2nd 更高次谐波出现在约 30 dBc 附近。考虑到上一节讨论的频率滚降，我们可以确定功率谐波符合制造商的规格。
现在我们进入第二奈奎斯特区，研究3 GHz处的信号发生器。我们预期3 GHz的信号会在2 GHz处发生混叠，这可以通过公式3验证。图11所示的频谱证实了这一点。二次谐波出现在6 GHz处，并与1 GHz发生混叠，其幅度显著降低。这是由于Moku Delta前端在接近6 GHz时产生了较大的衰减。
通过分析频谱，我们发现微波源在 500 MHz 处出现了一个杂散信号。然而，仅在混叠域中观察时，其真实来源并不明显。利用公式 3，我们确定在 500 MHz 处观测到的、采样率为 5 GSa/s 的信号可能对应于 4.5 GHz、5.5 GHz、9.5 GHz 或其他频率的真实信号，这些频率遵循相同的模式。
这说明了欠采样的一个重要局限性：混叠虽然保留了频谱内容，但却丢失了绝对频率信息。如果没有额外的约束条件，例如信号频带的先验知识或频谱分量如何随输入频率变化，混叠信号的真实来源可能难以确定。因此，在解释欠采样频谱时必须格外谨慎。
为了进一步调查该杂散信号的来源，我们在微波源和 Moku:Delta 之间插入一个 2-4 GHz 带通滤波器，如图 12 所示。这将有助于我们确定伪影的来源，因为如果它源自 2-4 GHz 频段之外，它将被衰减。
我们再次查看频谱分析仪，可以看到添加滤波器后的结果，如图 13 所示。3 GHz 的谐波频率保持在 2 GHz 的混叠频率，衰减约为 1 dB。nd 1 GHz 谐波（发生混叠）已从频谱中消失，因为它落在了带通滤波器之外。伪影仍然存在，衰减约为 2-3 dB。由此我们可以推断，该伪影的真实频率为 4.5 GHz，因为它恰好位于滤波器的通带之外，因此衰减程度不如 500 MHz 或 5.5 GHz 时那么严重。这个 4.5 GHz 的音调很可能是频率源内部的分数锁相环分频器产生的。
在本节中，我们展示了如何通过欠采样分析高奈奎斯特频率区的频谱。通过将频谱分析仪与精心选择的带通滤波器相结合，我们可以分离出模糊的频率分量并确定其来源频率。只要在解释混叠频谱时谨慎操作，欠采样就可以成为一种在保留频谱内容的同时测量高频信号的有效方法。
结语
本文讨论了如何通过采样将模拟信息转换为数字信息。我们展示了如何在 Moku:Delta 上使用欠采样模式来增加频谱分析仪和其他仪器的模拟带宽。虽然低于奈奎斯特极限的采样能够保留频谱信息，但它会隐藏绝对频率原点。因此，除了频谱镜像等固有误差外，用户在分析此类测量频谱时应格外小心。最佳实践建议在感兴趣的带宽范围内进行滤波，并了解测量信号的组成。