了解精密仪器的本底噪声和带宽

测试仪器的评估通常围绕其本底噪声展开，这是高精度仪器的一个关键指标。然而，建立本底噪声和测量信号质量之间的明确联系可能很难。本应用说明旨在阐明噪声谱密度的概念，并探讨可以显著提高测量信噪比的各种因素，利用 Moku:Pro.

了解本底噪声

在选择测试仪器时，噪声基底是一个关键指标，因为它对测量得到的信噪比 (SNR) 有显著影响，并直接影响检测微弱信号的能力。模拟噪声来源于多种因素，包括电磁干扰 (EMI) 和模数转换器 (ADC) 量化，从而形成复杂的噪声成分。本应用笔记分析了噪声基底，探讨了噪声带宽对噪声功率和测量信号信噪比的影响。信噪比 (SNR) 是一个无量纲指标，用于评估信号功率与噪声功率之比，是评估信号采集和处理系统的关键参数。

信噪比 = \(\frac{P_S}{P_N}\, (1.1) \) 信号功率 P_S 使用公式 1.2 计算，其中 T 表示观察间隔的持续时间。对于周期信号， T 等于信号的周期，并且 P_S 对应于信号的均方值。

对于正弦信号，均方根 (RMS) 幅度为 \(P_s = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} s^2 \, (t) dt \ = E[s^2 (t)], (1.2)\) A/√2，在 Moku:Pro 上 A 表示正弦信号的幅度。正弦信号的功率为 A²/2噪声功率 P_N 可用同样的方法计算。

\(P_N=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} n^2 \, (t) dt = E[n^2 (t)]=[(E[n(t)])]^2+E[(n(t)-E[n(t)])^2 ]=\mu^2+ \sigma^2 , (1.3) \) 当噪声的直流偏移 μ 为零时，P_N 等于方差，σ²噪声的影响。考虑一个实验，使用幅度为 10×√2 mV 的正弦波信号，对应的预期功率为 100 μV。²。在不同的噪声环境中收集数据会导致不同程度的额外噪声功率，因此 SNR 也不同。在图 1 中，我们描绘了在四种不同噪声条件下观察到的结果。

图 1：模拟在多种附加噪声功率场景下采集的恒功率正弦波信号，信噪比 (SNR) 值范围从 50 dB 到 10 dB。在图 1 所示的曲线图中，信号保持不变，而附加噪声功率则发生变化。随着噪声功率的增加，信号的可见度降低。最终，当噪声变得非常大时，它会完全掩盖信号，如图 2 所示。

图 2：噪声环境导致测得的信噪比为 -20 dB（蓝色）。正弦波（红色）与蓝色曲线无法区分。这表明仪器产生的过量噪声可能会掩盖细微但至关重要的信号。例如，在单光子实验中，信号可能被模拟输入噪声所掩盖。以下章节将进一步研究这种噪声基底，并探讨提高信噪比的可能策略。

量化噪声

“噪声水平”一词涵盖了各种噪声源，例如热噪声和量化噪声，导致各种噪声行为，包括 1/f 闪烁噪声和白噪声分析噪声基底需要同时考察时域和频域。图 3 显示了噪声基底（蓝线）和带有附加噪声基底的信号（红线）的典型曲线图。

图 3：时域噪声基底（蓝色）和捕获的实际输入信号（红色） Moku:Pro ADC。关注时域可以深入了解均方根噪声功率和噪声幅度分布。图 4 显示了图 3 中采集的噪声基底的统计特性，表明输入噪声近似服从高斯分布，均值为 -0.7095 个最低有效位 (LSB)，标准差为 1.1472 个 LSB。

图 4：ADC 噪声的统计分布以 LSB 为单位。条形图 (b) 表示 RMS 噪声为 1.3489 LSB。收集到的噪声数据中的直流偏移 (μ) 为 -0.7095 LSB。去除直流偏移后，RMS 值为 1.1472 LSB，如图 (c) 所示。该关系由公式 1.3489 验证² -1.1472²=（-0.7095）² 本节深入分析量化噪声。测试仪器的模拟输入分辨率常常令人担忧，因为量化噪声可能会扭曲测量信号并降低信号质量。然而，在高带宽仪器中，量化失真通常不太显著。这是因为电子元件中电子的热运动产生的白噪声可以有效地使量化噪声随机化。因此，量化噪声会融入到加性白噪声基底中，而不是表现为与输入相关的谐波失真，即使总的量化噪声功率保持不变。当白噪声超过量化噪声且其标准差超过最低有效位 (LSB) 的 1/3 时，可以将量化噪声视为均匀分布在整个频谱上的白噪声。否则，当存在输入信号时，量化噪声可能会在频域中表现为谐波失真。在大多数高带宽系统中，尽管噪声基底很低，但由于噪声带宽较大，噪声功率通常会超过 LSB 的 1/3。预期量化噪声功率的计算遵循公式 2.1，其中 e_q² 表示瞬时量化噪声功率，E(e_q²) 是量化噪声功率的期望值。假设量化噪声以 LSB 为单位均匀分布在步进分辨率范围 [-1/2 ,1/2 ] 内。概率分布函数 p(e_q) 由于均匀分布而等于 1，这意味着所有值都有同等的可能性。

\((E(e_q^2 )=\int_{-1/2}^{1/2}e_q^2 \, p(e_q) de_q = \frac{1}{12}, (2.1) \), 其中 p(e_q是误差分布在 1 LSB 范围内的概率分布函数。均方根量化噪声功率为 √(1/12)=0.2887 LSB，远低于总噪声贡献中的 1 LSB。因此，量化噪声并非主要的输入噪声源，与输入白噪声相比可以忽略不计。因此，量化噪声对测量信号的信噪比影响较小。噪声信号通常与时间无关，这意味着系统输入噪声的统计特性（例如均值、噪声功率和分布形式）随时间保持稳定。此外，在特定频率范围内测量信号时，时域噪声分析可能无法直接帮助理解最终测量的信噪比。因此，更有意义的分析在于探索频域噪声，通过噪声功率谱密度 (PSD) 或幅度谱密度 (ASD) 提供有关整个频谱噪声功率分布的重要信息。如上所述，噪声功率直接影响信噪比 (SNR)，其中噪声基底不仅包含总功率，还包含噪声功率与带宽的关系。在考虑噪声基底时，一个关键点是噪声是一个随机过程，它构成一个分布在整个频率范围内的宽带信号，而不是特定的频率分量。实际上，频谱中可能存在不同的噪声成分。例如，输入噪声可能源于输入前置放大器的非线性以及模数转换器 (ADC) 与后续电路之间的阻抗失配。在 Moku:Pro 的应用中，如图 5 所示，在 30 kHz 附近存在一个小的凸起。

图 5：Moku:Pro 模拟输入在 400 mVpp 输入范围内的噪声 ASD。30 kHz 附近的轻微噪声增加归因于低速和高速 ADC 的混合。为了在整个频率范围内实现低输入噪声，Moku:Pro 使用了两个模拟输入——慢速和快速。快速 ADC 在高频范围内提供低噪声，而慢速 ADC 在低频范围内具有更低的噪声频谱。与单独使用快速或慢速 ADC 相比，将两个 ADC 的输入混合使用可以在所有频率范围内获得低噪声频谱。图 5 直观地展示了频率范围内的噪声功率分布，从而有助于深入了解测量中预期的噪声功率。它还有助于比较量化噪声和总输入噪声的大小。量化噪声 ASD 的计算如公式 2.2 所示，其中 ∆ 是最小步长分辨率，在 Moku:Pro 上约为 0.44 mV。鉴于 Moku:Pro 的原生采样率为 1.25 GSa/s，奈奎斯特频率为 625 MHz。

\(ASD_{RMS,量化} = \sqrt{\frac{\Delta^2}{12*625 MHz}} \approx 5 nV/\sqrt{Hz}, (2.2) \) Moku:Pro 上的平均复合噪声水平为 17 nV/√Hz，而排除量化噪声后的噪声水平为 16 nV/√Hz。因此，量化噪声对输入信噪比的影响有限。

降低噪声功率

提高 SNR 一直是一个有趣的话题，包括两个方面：降低本底噪声和限制噪声带宽。如前几节所述，本底噪声本质上是噪声 ASD，它强调了带宽在实际实验中的重要性。总噪声功率来自单侧噪声 PSD 的积分 顺时针(f) 噪声带宽 BW_N，从较低频率边界到较高频率边界 f_高，_低. \(P_N= \int_{f_{low}}^{f_{high}} S(f) \, df \approx S(\frac{f_{high}+ f_{low}}{2})\cdot[f_{high} – f_{low} ] \approx N_0\cdot BW_N, (3.1) \) 在窄带宽内，噪声功率谱密度 (PSD) 的变化很小，尤其是在高频段。因此，\(S(\frac{f_{high}+f_{low}}{2})\) 可以精确地近似为一个常数单边 PSD，记为 N₀。因此，噪声功率P_N 可以表示为 \(N_0 \cdot BW_N\)。这表明可以通过减小噪声带宽来降低测量信号中的噪声功率。由于纯正弦信号根据定义没有带宽，这意味着只要信号频率在 [f_low, f_high] 范围内，信号功率 P_signal 就不会受到〖BW〗_N 变化的影响。由于 P_signal 与带宽 BW 无关，因此信噪比 (SNR) 可以如公式 3.2 所示。_N. 作为 BW_N 趋近于零，噪声功率\（N_0 \cdot BW_N\）趋近于零，但 P_信号保持不变。因此，SNR 可以得到显著改善。

\（SNR = \frac{P_{signal}}{N_0\cdot BW_N}，（3.2）\）

Moku:Pro 上的测试

本节将使用两种工具，示波器和锁相放大器，验证噪声功率与噪声带宽直接相关的理论。示波器将展示通过精确模式降低噪声带宽的功效，而锁相放大器将采用嵌入式低通滤波器来限制噪声带宽。演示旨在阐明两种仪器的噪声带宽和噪声功率之间的联系。此外，锁相放大器将说明 SNR 和低通滤波器带宽之间的关系。

示波器

Moku 示波器提供两种数据采集模式：精确和正常。调整时基时，采样率会自动改变以适应内存深度限制。但是，下采样可以以两种方式进行。在精确模式下，来自 ADC 的全速率信号被平均（一种过滤形式）以抽取信号，从而防止潜在的信号混叠并降低信号带宽。相反，正常模式直接对全速率信号进行下采样而不进行平均。这似乎有悖常理，但在测量低频信号时，高带宽示波器的 SNR 性能可能比低带宽示波器更差，假设两台示波器的噪声 PSD 相同。这是因为高带宽示波器可以在测量中包含大量噪声功率，因为 BW_N 噪声功率的影响相当显著。为了解决带宽增加导致的高噪声功率问题，一种直接的方法是降低测量带宽，即对数字化信号进行抽取。这正是精密模式的本质，该模式对全速率信号进行平均。图 6 展示了普通模式和精密模式下噪声功率的对比。显然，精密模式下的噪声功率随着噪声带宽的降低而降低，符合预期的 10 dB/dec 斜率趋势。值得注意的是，测量结果中的小凸起表明存在由图 5 所示的 ADC 混叠引起的较大噪声区域。然而，普通模式下的噪声功率不受噪声带宽的影响。这种现象可以用噪声功率从高频折叠回奈奎斯特带宽（混叠）来解释，从而形成一条近乎平坦的噪声功率曲线，通常称为混叠噪声功率。

图 6：使用 Moku:Pro 示波器在普通模式和精确模式下，不同带宽下采集的噪声数据的噪声功率。在普通模式（蓝色）下，由于混叠噪声功率的存在，噪声功率保持不变；而在精确模式（红色）下，噪声功率与预期的噪声功率趋势（橙色）相符。图 7 所示的采集数据的计算 ASD 更能明显地体现出这种噪声功率的混叠现象。在精确模式下，所有测量的频谱都具有相同的噪声基底，与采样率无关；唯一的区别在于不同采样率对应的噪声带宽。相比之下，在普通模式下，噪声基底会随着采样率的变化而变化，并遵循以下公式定义的特定规律：

\（本底噪声 = 17 nV/\sqrt{Hz} \cdot \sqrt{\frac{1.25 GSa/s}{采样率}}, (3.3) \）

在 625 MHz 带宽内，平均噪声 ASD 为 17 nV/√Hz。这意味着当信号带宽减小时，混叠噪声功率会提高噪声基底，导致噪声基底高于混叠峰，从而使混叠峰在正常模式下 ASD 不可见。因此，由于正常模式无法有效降低噪声带宽，因此无法降低噪声功率。

图 7：通过 Moku:Pro 示波器在普通模式和精确模式下观察到不同采样率下的本底噪声变化。在普通模式 (a) 下，本底噪声随采样率降低而增加，总噪声功率保持不变。在精确模式 (b) 下，本底噪声在所有采样率下保持一致。

锁相放大器

示波器采用的降噪技术是通过平均来保留奈奎斯特带宽内的信号，并保持瞬时采样率不变。虽然这种方法能够高效地直观地了解输入信号，但在处理由窄带信号调制的高频信号时，却存在一个明显的缺点。在这种情况下，示波器必须保持高于信号频率的带宽才能准确测量信号。高带宽意味着测量数据中会存在显著的噪声功率。此外，由于1/f闪烁噪声的存在，低频范围通常具有较高的噪声基底，导致测量信号的信噪比（SNR）较低。此时，锁相放大器就成为一种有效的信号采集工具。锁相放大器的工作原理是利用可选的低通滤波器带宽进行下变频。选择较小的低通滤波器带宽可以有效地限制噪声功率，同时保持调制信号的完整性。

图 8：Moku 锁相放大器采用双相解调器，可同时测量同相和正交相位分量。低通滤波器 (LPF) 可衰减 2ω 分量并降低噪声带宽。在图 9 中，Moku:Pro 配置为 400 mVpp 输入范围、50 Ω 输入阻抗和 10 MHz 解调频率。通过选择不同的低通滤波器截止频率来等效地降低噪声带宽，从而采集噪声数据。可以看出，测得的噪声功率与预期的噪声功率曲线吻合，斜率为 10 dB/dec。此外，使用锁相放大器测得的噪声功率曲线与使用示波器获得的曲线有所不同。锁相放大器专注于高频范围内的窄带。因此，锁相放大器探测到的噪声基底相对平坦。没有出现“混合”凸起，使得测得的噪声功率与预期的噪声功率曲线吻合良好。

图 9：使用不同低通滤波器截止频率记录数据的噪声功率。测得的噪声功率与预期的噪声功率曲线吻合，呈现 10 dB/dec 的下降斜率。图 10 显示了采集数据的 ASD。图中清晰可见低通滤波器引入的滚降，突显了采集数据中噪声带宽与低通滤波器截止频率的匹配性。在高频段，由于内部信号链固有的分辨率限制，进一步衰减噪声的能力受到制约。

图 10：实施不同低通滤波器转角频率时测量的记录数据 ASD。滚降点对应于配置的低通滤波器转角频率。

输入范围对本底噪声的影响

需要注意的是，不同输入范围的噪声基底可能有所不同。为了更深入地探讨这个问题，本节将讨论输入范围的实现。在硬件平台上实现不同输入范围最直接的方法是给模拟输入前端施加衰减。例如，施加 20 dB 的衰减后，在没有任何削波效应的情况下，等效最大可检测信号比无衰减情况下大 10 倍。换句话说，配备 20 dB 衰减器的 400 mVpp ADC 可以有效地测量 4 Vpp 的信号。然而，ADC 的输入噪声通常保持不变。这意味着随着输入范围的扩大，等效噪声功率也会增加 10 倍。图 11 展示了三种输入范围下的噪声功率。显然，噪声功率曲线相邻曲线之间相隔 20 dB，表明噪声功率随着输入范围的扩大而增加。

图 11：不同低通滤波器截止频率和输入范围下采集数据的噪声功率。20 dB 的输入衰减导致等效噪声水平增加 20 dB。图 12 显示了根据采集数据计算的噪声 ASD。值得注意的是，ASD 的整体形状在不同设置下保持相对一致。主要区别在于整体噪声水平。在最大动态范围内，40 Vpp 范围的噪声基底比 400 mVpp 范围的噪声基底增加了约 40 dB，这是由于输入衰减器从 0 dB 调整到 40 dB 所致。

图 12：在不同输入范围内捕获的噪声数据的 ASD，低通滤波器频率设置为 100 kHz。由于 10 dB 的衰减，相邻噪声级之间的 ASD 相差约 20 倍。

计算信噪比

如前几节所述，噪声功率与噪声带宽直接相关。对于直流信号或单音信号，理论上信噪比可以提升至无限高。本节将给出实际测量的信噪比值。锁相放大器测量信号的信噪比可使用公式 5.1 计算：

\(SNR = \frac{P_{signal}}{P_{noise}} = \frac{P_{signal}}{\int_{0}^{f_{lowpass}} S(f) \, df} \approx \frac{P_{signal}}{N_0\cdot f_{lowpass}}, (5.1) \) 假设 S(f) 为平坦噪声基底→S(f)= N_0 通常，信号功率 P_信号信噪比受系统中其他组件的影响，例如光电探测器或激光功率。由此方程可知，假设噪声功率谱密度 S(f) 保持不变，则测量信号的信噪比与低通滤波器的截止频率成反比。为了验证这一理论，我们设计了一个测试，针对不同的输入范围和低通滤波器带宽采集数据。输入信号由一个 10 MHz、100 µVpp 的单音信号发生器产生，源阻抗为 50 Ω。随后，在 10 MHz 的信号频率下对单音信号进行解调，以确定输入信号电平。然后，将锁相放大器中低通滤波器的截止频率调整到几个不同的值，并通过直流分量的平方除以解调信号的方差来计算信噪比。之所以选择这种方法，是因为直流分量代表信号，而方差代表噪声功率。结果表明，测得的信噪比与预期相符。值得注意的是，4 Vpp 和 40 Vpp 设置之间的信噪比差异为 14 dB 而不是 20 dB，这归因于输入阻抗配置为 1 MΩ。1 MΩ 负载吸收的电压是 50 Ω 源端口的两倍，因此信号功率是 50 Ω 阻抗的四倍（6 dB）。

图 13：不同输入范围和噪声带宽下的实测和预期信噪比。信噪比与扩展的输入范围成正比。4 Vpp 和 40 Vpp 范围之间 14 dB 的信噪比差异归因于 1 MΩ 的输入阻抗。吸收两倍的电压会导致信噪比提高四倍（比 50 Ω 高 6 dB）。

讨论

本节将探讨各种需要考虑的因素，包括通过限制信号带宽来提高信噪比的局限性，以及带宽限制的适用场景。在寻求提高测量信号的信噪比时，应注意一些限制。一个关键的限制是信号所需的最小带宽，例如在使用锁相放大器分析解调信号中的相位或频率偏移时。在这些情况下，低通滤波器的带宽必须大于频率偏差或相位变化率。因此，低通滤波器的带宽不能无限减小，这限制了可实现的信噪比提升幅度。因此，当预期信号为直流信号或随时间缓慢变化时，限制噪声带宽的效果最佳。为了获得最佳信噪比，输入范围应设置为不会导致输入信号削波的最小值。如图 12 所示，增加输入衰减会提高等效噪声基底。因此，在处理小信号时，选择较小的输入范围对于保持测量结果的高信噪比至关重要。

结语

本应用笔记回顾了噪声基底在时域和频域中的重要性，并介绍了降低测量信号噪声的方法。噪声基底不仅提供了有关时域统计噪声分布的重要信息，还提供了不同频率范围内噪声功率分布的洞察。这为用户预测信噪比 (SNR) 和了解实际实验中的最佳调制频率提供了有价值的工具。提高信噪比的有效方法是降低实验中的噪声带宽，这可以通过信号抽取或低通滤波来缩小信号带宽来实现。本应用笔记还重点介绍了实施噪声带宽缩减方法的最佳场景，指出缓慢变化的实验特别适合通过限制噪声带宽来提高信噪比。此外，在比较不同器件的噪声性能时，除了绝对噪声基底之外，还必须考虑它们的动态范围。通常，较小的输入范围对应于较低的噪声基底。但是，如果信号幅度超过这个小范围，切换到更大的范围可能会导致噪声性能下降。因此，在评估两个设备的噪声基底时，应始终确保输入范围具有可比性。

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