在本系列中，我们通过简要介绍频域中遇到的反馈控制，为设计和调试循环提供实用的参考。
1.1 介绍
从驾驶直升机飞向另一个星球的兴奋感，到电网和家用供暖等日常基本应用，反馈控制系统是现代社会必不可少且无处不在的一部分。在研究和工业领域，控制回路可以实现自动化、降低噪音、提高性能并应对不确定性和参数变化。然而，还必须解决随之而来的复杂性和可能的不稳定性问题。
本系列的第一部分建立了传递函数的定义，并提供了可以构建控制回路框图以对复杂系统进行建模的组件。在 部分2 我们演示了如何使用反馈控制系统来抑制干扰或跟踪过程设定点。还讨论了与噪声传感器相关的复杂性。与开环系统不同，受反馈控制的设备有可能变得不稳定，并且性能和稳健性之间存在矛盾。最终，信号传播的延迟可能会施加最严格的限制。这些问题在 部分3在频域中，反馈系统的大多数参数都可以与其开环传递函数联系起来。 部分4 我们解释了如何测量这个重要数量，并提供了塑造它时经常使用的函数列表。 部分5 描述了一种避免执行器饱和的方法，并在此过程中介绍了对处理多个执行器有用的想法。我们的系列文章总结如下： 部分6 随着研究 PID控制器。这种常见的控制架构通常从时域的角度来考虑；我们说明了互补的频域表示。
1.2 为什么是频域？
具有单输入和单输出 (SISO) 的线性时不变动力系统主要用以下形式的输入/输出微分方程来描述
\(a_nfrac{d^ny}{dt^n}+ a_{n-1}frac{d^{n-1}y}{dt^{n-1}}+ldots+ a_1frac{dy}{dt}+a_0y= b_mfrac{d^mu}{dt^m}+ b_{m-1}frac{d^{m-1}u}{dt^{m-1}}+ldots+ b_1frac{du}{dt}+b_0u,\)。
协调 u(t）是输入函数， y(t）输出和\(a_i, b_iin mathbb{R}\)是常数。
这类方程直接求解可能很困难。利用拉普拉斯变换及其性质（见附录A），可以将问题转移到频域，从而得到纯代数解。
此外，在频域中操作使得构建和分析复杂系统的方法变得简单，并且与闭环稳定性相关的概念可以更容易地处理和理解。
1.3 什么是传递函数？
对 (1.1) 进行拉普拉斯变换，可得到
\((a_ns^n+ a_{n-1}s^{n-1}+ldots+a_1s+a_0)Y(s) = (b_ms^m+ b_{m-1}s^{m-1}+ldots+b_1s+b_0)U(s)\),
其中 Y(s) 和 U(s) 是频域中新的输出和输入函数。为了仅考虑系统对输入信号的响应，我们假设系统在 t=0 时不受干扰，即 y(0^-),dot{y}(0^-),text{etc}=0。我们还假设输入 u(t) 在 t < 0 时为零，且 u(0^-),dot{u}(0^-),text{etc.}=0。这种具有静态初始条件的设置有时被称为零状态响应。我们将传递函数 H(s) 定义为输出与输入的比率
这个等式的另一种常见形式是
\（H（s）= frac{N（s）}{D（s）}= K frac{（s-z_1）（s-z_2）ldots（s-z_{m-1}）（s-z_m）}{（s-p_1）（s-p_2）ldots（s-p_{n-1}）（s-p_n）}\）。
此版本将分子和分母中的多项式重新排列为其根形式，称为零点-极点-增益或 zpk 表示。系统的零点是 N(s) = 0 的根，系统极点是 D(s) = 0 的根。
由于 (1.1) 的系数是实数，因此极点和零点要么是实数，要么以复共轭对的形式出现。
给定传递函数，就可以计算系统对任意输入的响应，就像使用微分方程表示一样。更常见的是，我们使用传递函数来评估对正弦输入的稳态响应（幅度和相位）。可以通过评估 s = iω 处的传递函数来计算此频率响应。
1.4 循环代数
在本系列的后续部分中，我们将使用框图来表示系统。每个块代表一个传递函数，它们可以代数组合成任意复杂的系统。图 1.1 显示了一些基本示例，例如串行、并行和附加连接。
图 1.1：复杂系统的传递函数可以用基本元件代数方式构造。（i）单个块，（ii）串联，（iii）拾取点，（iv）求和节点，（v）并联。
附录A： 拉普拉斯变换
一面倒的 拉普拉斯变换 是 \(F(s)=int_{0^-}^infty f(t)e^{-st},mathrm{d}t\)
服务 s = σ + 我ω 是复频率，其中 σ 和 ω 是真实的，我们默认 f(t) = 0，对于 吨 0. 不寻常的下限 t = 0−，即刚好在之前 t = 0，以简化我们的计算。另一种方法是将极限取为 t = 0 但断言输入函数中的任何不连续性都发生在 t = 0+。
拉普拉斯变换与傅里叶变换之间的关系可以用以下公式来描述
从某种意义上说， 傅立叶变换 是拉普拉斯变换的一个特例，其中 σ=0， 并评估给定控制系统在此条件下的稳态响应。控制理论中的一些重要函数，例如单位阶跃，具有拉普拉斯变换，但没有傅里叶变换。